Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức tính đường trung

Đánh giá bài viết

Chào mừng bạn đến với trungcapluatvithanh.edu.vn trong bài viết về Trung tuyến là gì chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.

Cùng THPT Sóc Trăng tìm hiểu đường trung tuyến là gì? Tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác,…

Đường trung tuyến là gì?

  • Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
  • Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.

Ví dụ:

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

– Đồng quy tại 1 điểm

Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm, được gọi là trọng tâm của tam giác.

Trọng tâm của tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh

– Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau

Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

3 đường trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau

Các đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

  • Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
  • Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
  • Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Đường trung tuyến trong tam giác cân

  • Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác đều

  • 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
  • Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác

Thực hành: Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện. Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến). Cho biết: Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm hay không?

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác đó.

Định lý 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, do đó:

SΔAGE = SΔCGE; SΔBGD = SΔCGD; SΔAGF = SΔBGF trong đó kí hiệu SΔABC là diện tích của tam giác ABC.

Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của một tam giác thì bằng ½ chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau.

Chúng ta có:

Xem thêm:: Tình mẫu tử là gì? Dẫn chứng, ví dụ tình mẫu tử thiêng liêng?

SΔACG = SΔACD − SΔCGD; SΔABG = SΔABD − SΔBGD

Do đó ta có :SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG; SΔCDG = ½SΔACG

Do SΔBGF = SΔAGF, SΔAGF = ½SΔACG = SΔBGF = ½SΔBCG

Do vậy, SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD

Sử dụng cùng phương pháp này. ta có thể chứng minh điều sau:

SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD=SΔCGE=SΔAGE

Định lý 3: Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

Ví dụ như sau:

Tam giác ΔABC có AD, BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. Theo định lý 1 thì ba đường này đồng quy tại một điểm gọi là điểm G.

Theo định lý 2 thì:

AG=⅔ AD;BG=⅔ BE;CG=⅔ CF

Công thức tính đường trung tuyến của tam giác

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius.

Công thức tính đường trung tuyến

Trong đó:

  • a, b, c: là các cạnh của tam giác.
  • ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Bài tập ôn luyện đường trung tuyến

Bài tập trắc nghiệm đường trung tuyến

Câu 1: Cho tam giác ABC cân. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:

A. 22cm

B. 2cm

C. 6cm

Xem thêm:: Hình tròn là gì? Tâm, bán kính, đường kính của … – DINHNGHIA.VN

D. 8cm

Đáp án: D

Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:

A. 4,5cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 4cm

Đáp án: C.

Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = CN thì ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Đáp án: A.

Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Cách giải:

Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)

Xem thêm:: Clo test là gì? Chỉ số trong xét nghiệm HP – YouMed

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)

Suy ra AO= ⅓BO hay BA= ⅔BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)

mà LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)

suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( tính chất của ba đường trung tuyến)

Câu 2: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

a) EF=BC

b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Cách giải:

a) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

⇒ GC = 2GN

mà FG = 2GN ⇒ GC=GF

Tương tự BG, GE và ∠G1 = ∠G2 (đd). Do đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))

Suy ra BC = EF

b.) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC nên AG đi qua trung điểm của BC.

Qua bài viết ở trên, THPT Sóc Trăng đã giúp các em học sinh hiểu rõ hơn đường trung tuyến là gì, tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác. Các em học sinh có thể truy cập website THPT Sóc Trăng để tìm hiểu những bài viết hữu ích, phục vụ cho quá trình học tập và thi cử.

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo Dục

Cảm ơn bạn đã đọc hết bài viết chia sẻ tâm huyết của trungcapluatvithanh.edu.vn Xin cảm ơn!

Hà Phương là cô gái đam mê chia sẻ kinh nghiệm kiến thức cho mọi người trên các nền tảng khác nhau. Đã học và tốt nghiệp tại tại Học ngành Luật kinh tế - Khoa Luật Học tại Học Viện Thanh Thiếu Niên Việt Nam.

Related Posts

BET88 Link vào Website chính thức nhà cái BET88

Nội dung bài viếtĐường trung tuyến là gì?Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác– Đồng quy tại 1 điểm– Chia thành các tam giác nhỏ…

Các chương trình khuyến mãi AE888 khá đa dạng và phong phú

Tổng hợp đa dạng chương trình khuyến mãi AE888 cực khủng

Nội dung bài viếtĐường trung tuyến là gì?Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác– Đồng quy tại 1 điểm– Chia thành các tam giác nhỏ…

PHIẾU GỬI GE.GRAB-BAT.NET – trang phiếu gửi điện tử grab

PHIẾU GỬI GE.GRAB-BAT.NET – trang phiếu gửi điện tử grab

Chào mừng bạn đến với trungcapluatvithanh.edu.vn trong bài viết về phieuguige-grab-bat-net chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.

KU CASINO ✔ KUCasino – Đăng ký KUBET Tặng 599K

KU CASINO ✔ KUCasino – Đăng ký KUBET Tặng 599K

Chào mừng bạn đến với trungcapluatvithanh.edu.vn trong bài viết về đăng nhập kubet chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.

Đi date là gì ? Đi date nên đi đâu – TTDC Complex

Đi date là gì ? Đi date nên đi đâu – TTDC Complex

Chào mừng bạn đến với trungcapluatvithanh.edu.vn trong bài viết về đi date nghĩa la gì chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.

Cao lầu là gì? Nguồn gốc cao lầu, cao lầu và mì quảng khác nhau

Cao lầu là gì? Nguồn gốc cao lầu, cao lầu và mì quảng khác nhau

Chào mừng bạn đến với trungcapluatvithanh.edu.vn trong bài viết về cao lầu là gì chúng tôi sẽ chia sẻ kinh nghiệm chuyên sâu của mình cung cấp kiến thức chuyên sâu dành cho bạn.