Bài 27 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) ( frac{2x-5}{x+5}) = 3; b) ( frac{x^{2}-6}{x}=x+frac{3}{2})

c) ( frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0); d) ( frac{5}{3x+2}) = 2x – 1

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: x # -5

( frac{2x-5}{x+5}) = 3 ⇔ ( frac{2x-5}{x+5}) ( =frac{3(x+5)}{x+5})

⇔ 2x – 5 = 3x + 15

⇔ 2x – 3x = 5 + 20

⇔ x = -20 thoả ĐKXĐ

Vậy tập hợp nghiệm S = {-20}

b) ĐKXĐ: x # 0

( frac{x^{2}-6}{x}=x+frac{3}{2}) ⇔ ( frac{2(x^{2}-6)}{2x}=frac{2x^{2}+3x}{2x})

Suy ra: 2×2 – 12 = 2×2 + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thoả x # 0

Vậy tập hợp nghiệm S = {-4}.

c) ĐKXĐ: x # 3

( frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0) ⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x – 3)(x + 2) = 0 mà x # 3

⇔ x + 2 = 0

⇔ x = -2

Vậy tập hợp nghiệm S = {-2}

d) ĐKXĐ: x # ( -frac{2}{3})

( frac{5}{3x+2}) = 2x – 1 ⇔ ( frac{5}{3x+2}) ( =frac{(2x -1)(3x+2)}{3x+2})

⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2)

⇔ 6×2 – 3x + 4x – 2 – 5 = 0

⇔ 6×2 + x – 7 = 0

⇔ 6×2 – 6x + 7x – 7 = 0

⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0

⇔ (6x + 7)(x – 1) = 0

⇔ x = ( -frac{7}{6}) hoặc x = 1 thoả x # ( -frac{2}{3})

Vậy tập nghiệm S = {1;( -frac{7}{6})}.

Bài 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) ( frac{2x-1}{x-1}+1=frac{1}{x-1}); b) ( frac{5x}{2x+2}+1=-frac{6}{x+1})

c) x + ( frac{1}{x}) = x2 + ( frac{1}{x^{2}}); d) ( frac{x+3}{x+1}+frac{x-2}{x}) = 2.

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: x # 1

Khử mẫu ta được: 2x – 1 + x – 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thoả mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: x # -1

Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2

Vậy phương trình có nghiệm x = -2.

c) ĐKXĐ: x # 0.

Khử mẫu ta được: x3 + x = x4 + 1

⇔ x4 – x3 -x + 1 = 0

⇔ x3(x – 1) -(x – 1) = 0

⇔ (x3 -1)(x – 1) = 0

⇔ x3 -1 = 0 hoặc x – 1 = 0

1) x – 1 = 0 ⇔ x = 1

2) x3 -1 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc x2 + x + 1 = 0 ⇔ ( (x+frac{1}{2})^{2}) = ( -frac{3}{4}) (vô lí)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

d) ĐKXĐ: x # 0 -1.

Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)

⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – 2 = 2×2 + 2x

⇔ 2×2 + 2x – 2 = 2×2 + 2x

⇔0x = 2

Phương trình 0x = 2 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 29 trang 22 sgk toán 8 tập 2

Bạn Sơn giải phương trình ({{{x^2} – 5x} over {x – 5}} = 5left( 1 right)) như sau:

(1) ⇔({x^2} – 5x = 5left( {x – 5} right))

⇔({x^2} – 5x = 5x – 25)

⇔({x^2} – 10x + 25 = 0)

⇔({left( {x – 5} right)^2} = 0)

⇔(x = 5)

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

(1) ⇔({{xleft( {x – 5} right)} over {x – 5}} = 5 Leftrightarrow x = 5)

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.

Hướng dẫn làm bài:

+ Trong cách giải của bạn Sơn có ghi

(1) ({x^2} – 5x = 5left( {x – 5} right)) ⇔ là sai vì x = 5 không là nghiệm của (1) hay ( 1) có ĐKXĐ :(x ne 5) .

+ Trong cách giải của Hà có ghi

(1) ⇔({{xleft( {x – 5} right)} over {x – 5}} = 5 Leftrightarrow x = 5)

Sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn x – 5.

Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 30 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) ({1 over {x – 3}} + 3 = {{x – 3} over {2 – x}})

b) (2x – {{2{x^2}} over {x + 3}} = {{4x} over {x + 3}} + {2 over 7})

c) ({{x + 1} over {x – 1}} – {{x – 1} over {x + 1}} = {4 over {{x^2} – 1}})

d) ({{3x – 2} over {x + 7}} = {{6x + 1} over {2x – 3}})

Hướng dẫn làm bài:

a) ({1 over {x – 3}} + 3 = {{x – 3} over {2 – x}}) ĐKXĐ: (x ne 2)

Khử mẫu ta được: (1 + 3left( {x – 2} right) = – left( {x – 3} right) Leftrightarrow 1 + 3x – 6 = – x + 3)

⇔(3x + x = 3 + 6 – 1)

⇔4x = 8

⇔x = 2.

x = 2 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) (2x – {{2{x^2}} over {x + 3}} = {{4x} over {x + 3}} + {2 over 7}) ĐKXĐ:(x ne – 3)

Khử mẫu ta được:

(14left( {x + 3} right) – 14{x^2})= (28x + 2left( {x + 3} right))

(Leftrightarrow 14{x^2} + 42x – 14{x^2}= 28x + 2x + 6)

⇔ (42x – 30x = 6)

⇔(12x = 6)

⇔(x = {1 over 2})

(x = {1 over 2}) thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm (x = {1 over 2})

c) ({{x + 1} over {x – 1}} – {{x – 1} over {x + 1}} = {4 over {{x^2} – 1}}) ĐKXĐ:(x ne pm 1)

Khử mẫu ta được: ({left( {x + 1} right)^2} – {left( {x – 1} right)^2} = 4)

⇔({x^2} + 2x + 1 – {x^2} + 2x – 1 = 4)

⇔(4x = 4)

⇔(x = 1)

x = 1 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) ({{3x – 2} over {x + 7}} = {{6x + 1} over {2x – 3}}) ĐKXĐ:(x ne – 7) và ( x ne {3 over 2})

Khử mẫu ta được: (left( {3x – 2} right)left( {2x – 3} right) = left( {6x + 1} right)left( {x + 7} right))

⇔(6{x^2} – 9x – 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7)

⇔( – 13x + 6 = 43x + 7)

⇔( – 56x = 1)

⇔(x = {{ – 1} over {56}})

(x = {{ – 1} over {56}}) thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm (x = {{ – 1} over {56}}) .

Bài 31 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) ({1 over {x – 1}} – {{3{x^2}} over {{x^3} – 1}} = {{2x} over {{x^2} + x + 1}})

b) ({3 over {left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)}} + {2 over {left( {x – 3} right)left( {x – 1} right)}} = {1 over {left( {x – 2} right)left( {x – 3} right)}})

c) (1 + {1 over {x + 2}} = {{12} over {8 + {x^3}}})

d) ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {left( {x – 3} right)left( {x + 3} right)}})

Giải:

a) ({1 over {x – 1}} – {{3{x^2}} over {{x^3} – 1}} = {{2x} over {{x^2} + x + 1}})

Ta có: ({x^3} – 1 = left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x + 1} right))

(= left( {x – 1} right)left[ {{{left( {x + {1 over 2}} right)}^2} + {3 over 4}} right]) cho nên x3 – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1

Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1

Khử mẫu ta được:

({x^2} + x + 1 – 3{x^2} = 2xleft( {x – 1} right) Leftrightarrow – 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} – 2x)

(Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 = 0)

(Leftrightarrow 4xleft( {x – 1} right) + left( {x – 1} right) = 0)

(Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {4x + 1} right) = 0)

(Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 1} cr {x = – {1 over 4}} cr} }right.)

x = 1 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x = – {1 over 4})

b) ({3 over {left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)}} + {2 over {left( {x – 3} right)left( {x – 1} right)}} = {1 over {left( {x – 2} right)left( {x – 3} right)}})

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3

Khử mẫu ta được:

(3left( {x – 3} right) + 2left( {x – 2} right) = x – 1 Leftrightarrow 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1)

( Leftrightarrow 5x – 13 = x – 1)

⇔ 4x = 12

⇔ x = 3

x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) (1 + {1 over {x + 2}} = {{12} over {8 + {x^3}}})

Ta có: (8 + {x^3} = left( {x + 2} right)left( {{x^2} – 2x + 4} right))

( = left( {x + 2} right)left[ {{{left( {x – 1} right)}^2} + 3} right])

Do đó: 8 + x2 ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2

Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2

Khử mẫu ta được:

({x^3} + 8 + {x^2} – 2x + 4 = 12 Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 2x = 0)

(Leftrightarrow xleft( {{x^2} + x – 2} right) = 0)

(Leftrightarrow xleft[ {{x^2} + 2x – x – 2} right] = 0)

⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0

⇔ x(x -1) = 0

⇔x = 0 hay x = 1

x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}.

d) ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {left( {x – 3} right)left( {x + 3} right)}})

ĐKXĐ: (x ne 3,x ne – 3,x ne – {7 over 2})

Khử mẫu ta được:

(13left( {x + 3} right) + left( {x – 3} right)left( {x + 3} right) = 6left( {2x + 7} right) Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42)

(Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0)

(Leftrightarrow {x^2} + 4x – 3x – 12 = 0)

(Leftrightarrow xleft( {x + 4} right) – 3left( {x + 4} right) = 0)

(Leftrightarrow left( {x – 3} right)left( {x + 4} right) = 0)

⇔ x =3 hoặc x = -4

x = 3 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4

Bài 32 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) ({1 over x} + 2 = left( {{1 over x} + 2} right)left( {{x^2} + 1} right)) ;

b) ({left( {x + 1 + {1 over x}} right)^2} = {left( {x – 1 – {1 over x}} right)^2})

Hướng dẫn làm bài:

a) ({1 over x} + 2 = left( {{1 over x} + 2} right)left( {{x^2} + 1} right)) (1)

ĐKXĐ:(x ne 0)

(1) ⇔(left( {{1 over x} + 2} right) – left( {{1 over x} + 2} right)left( {{x^2} + 1} right) = 0)

(Leftrightarrow left( {{1 over x} + 2} right)left( {1 – {x^2} – 1} right) = 0)

⇔ (left( {{1 over x} + 2} right)left( { – {x^2}} right) = 0)

⇔(left[ {matrix{{{1 over x} + 2 = 0} cr { – {x^2} = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{1 over x} = – 2} cr {{x^2} = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {1 over 2}} cr {x = 0} cr} } right.)

b) ({left( {x + 1 + {1 over x}} right)^2} = {left( {x – 1 – {1 over x}} right)^2}) (2)

ĐKXĐ: (x ne 0)

(2) ⇔(left[ {matrix{{x + 1 + {1 over x} = x – 1 – {1 over x}} cr {x + 1 + {1 over x} = – left( {x – 1 – {1 over x}} right)} cr} } right.)

⇔(left[ {matrix{{{2 over x} = – 2} cr {2x = 0} cr} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – 1} cr {x = 0} cr} } right.} right.)

x=0 không thoả ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

Bài 33 trang 23 sgk toán 8 tập 2

Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:

a) ({{3a – 1} over {3a + 1}} + {{a – 3} over {a + 3}}) b) ({{10} over 3} – {{3a – 1} over {4a + 12}} – {{7a + 2} over {6a + 18}})

Hướng dẫn làm bài:

a)Ta có phương trình:({{3a – 1} over {3a + 1}} + {{a – 3} over {a + 3}} = 2); ĐKXĐ: (a ne – {1 over 3},a ne – 3)

Khử mẫu ta được :

(left( {3a – 1} right)left( {a + 3} right) + left( {a – 3} right)left( {3a + 1} right) = 2left( {3a + 1} right)left( {a + 3} right))

⇔(3{a^2} + 9a – a – 3 + 3{a^2} – 9a + a – 3 = 6{a^2} + 18a + 2a + 6)

⇔(6{a^2} – 6 = 6{a^2} + 20a + 6)

⇔(20a = – 12)

⇔(a = – {3 over 5})

(a = – {3 over 5}) thỏa ĐKXĐ.

Vậy (a = – {3 over 5}) thì biểu thức ({{3a – 1} over {3a + 1}} + {{a – 3} over {a + 3}}) có giá trị bằng 2

b)Ta có phương trình:({{10} over 3} – {{3a – 1} over {4a + 12}} – {{7a + 2} over {6a + 18}} = 2)

ĐKXĐ:(a ne 3;MTC:12left( {a + 3} right))

Khử mẫu ta được:

(40left( {a + 3} right) – 3left( {3a – 1} right) – 2left( {7a + 2} right) = 24left( {a + 3} right))

⇔(40a + 120 – 9a + 3 – 14a – 4 = 24a + 72)

⇔(17a + 119 = 24a + 72)

⇔( – 7a = – 47)

⇔(a = {{47} over 7})

(a = {{47} over 7}) thỏa ĐKXĐ.

Vậy (a = {{47} over 7}) thì biểu thức ({{10} over 3} – {{3a – 1} over {4a + 12}} – {{7a + 2} over {6a + 18}}) có giá trị bằng 2.

Giaibaitap.me